Question

在矩形ABCD中，點P是邊AD上的動點，連接BP，線段BP的垂直平分線交邊BC于點Q，垂足為點M，聯結QP（如圖）．已知AD=13，AB=5，設AP=x，BQ=y．
（1）求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；
（2）當以AP長為半徑的⊙P和以QC長為半徑的⊙Q外切時，求x的值；
（3）點E在邊CD上，過點E作直線QP的垂線，垂足為F，如果EF=EC=4，求x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用相似三角形△ABP∽△MQB，求出y關于x的函數解析式；注意求x的取值范圍時，需考慮計算x最大值與最小值的情形；
（2）如答圖1所示，利用相外切兩圓的性質，求出PQ的長；利用垂直平分線的性質PQ=BQ，列方程求出x的值；
（3）如答圖2所示，關鍵是證明△CEQ∽△ABP，據此列方程求出x的值．
解答：解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP²=AP²+AB²=x²+25．
∵MQ是線段BP的垂直平分線，
∴BQ=PQ，BM=BP，∠BMQ=90°，
∴∠MBQ+∠BQM=90°，
∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，
又∵∠A=∠BMQ=90°，
∴△ABP∽△MQB，
∴，即，化簡得：y=BP²=（x²+25）．
當點Q與C重合時，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ²=QD²+PD²，即13²=5²+（13-x）²，解得x=1；
又AP≤AD=13，∴x的取值范圍為：1≤x≤13．
∴y=（x²+25）（1≤x≤13）．

（2）當⊙P與⊙Q相外切時，如答圖1所示：

設切點為M，則PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC-BQ）=x+（13-y）=13+x-y；
∵PQ=BQ，
∴13+x-y=y，即2y-x-13=0
將y=（x²+25）代入上式得：（x²+25）-x-13=0，
解此分式方程得：x=，
經檢驗，x=是原方程的解且符合題意．
∴x=．

（3）按照題意畫出圖形，如答圖2所示，連接QE．

∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分線性質）．
∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，
而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性質），∴∠1=∠3．
又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，
∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，
∴△CEQ∽△ABP，
∴，即，化簡得：4x+5y=65，
將y=（x²+25）代入上式得：4x+（x²+25）=65，
解此分式方程得：x=，
經檢驗，x=是原方程的解且符合題意，
∴x=．
點評：本題是中考壓軸題，難度較大．試題的難點在于：其一，所考查的知識點眾多，包括相似三角形的判定與性質、矩形的性質、勾股定理、圓的位置關系、角平分線的性質、垂直平分線的性質、解分式方程與一元二次方程等，對數學能力要求很高；其二，試題計算量較大，需要仔細認真計算，避免出錯．