Question

已知直線y=2x+1-m與拋物線y=x²-4x+k的一個交點坐標為（1，-1）．
（1）分別求出直線與拋物線的函數解析式；
（2）如果在點（1，0）、（4，0）之間有一個動點F（a，0），過點F作y軸的平行線，交直線于點C，交拋物線于點D，求CD的長（用含a的代數式表示）；
（3）設拋物線的對稱軸與直線交于點B，與x軸交于點A，四邊形ABCD能否構成平行四邊形？如果能，請求出這個平行四邊形的面積；如果不能，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）把交點坐標（1，-1）分別代入直線和拋物線的解析式中，求的m、k；
（2）a的取值范圍是（1，4），把a分別放進解析式，得出y和y′，根據取值范圍可以確定y和y'的大小．兩者相減就是CD的長；
（3）畫出拋物線坐標圖，求出B和A的坐標就可以判斷出四邊形是否平行四邊形．

解答：解：（1）∵直線y=2x+1-m與拋物線y=x²-4x+k的一個交點坐標為（1，-1）．
∴將點（1，-1）分別代入解析式得：
-1=2+1-m，
∴m=4，
-1=1-4+k，
∴k=2，
∴直線與拋物線的函數解析式分別為：y=2x-3，y=x²-4x+2；

（2）∵在點（1，0）、（4，0）之間有一個動點F（a，0），過點F作y軸的平行線，交直線于點C，交拋物線于點D，
∴C（a，2a-3），D（a，a²-4a+2），
CD=2a-3-（a²-4a+2）=-a²+6a-5；

（3）存在B（2，9），A（2，0），
∵只要存在BC∥AD，AB∥CD可得，

BC

=（a-2，2a-12），

AD

=（a-2，4a-2-a²），
只要2a-12=4a-2-a²即可，此時BC∥AD
∴a=±

11

+1，∵a＞0，
∴a=

11

+1，
∴B（2，9），A（2，0），
∴點C橫坐標為

11

+1，
高就是A點橫坐標與C點橫坐標的差，即高為

11

-1，
代入即得平行四邊形面積為：9×(

11

-1)=9

11

-9．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用，其中涉及到的知識點有求拋物線的解析式，在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．二次函數圖象與直線的結合形成的四邊形形狀的判定．