Question

在銳角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE為高，F是BC的中點，連接DE、EF、FD．則以下結論中一定正確的個數有（　　）
①EF=FD；
②AD：AB=AE：AC；
③△DEF是等邊三角形；
④BE+CD=BC；
⑤當∠ABC=45°時，BE=

2

DE．

• A、2個
• B、3個
• C、4個
• D、5個

Answer 1

分析：①EF、FD是直角三角形斜邊上的中線，都等于BC的一半；②可證△ABD∽△ACE；③證明∠EFD=60°；④假設結論成立，在BC上取滿足條件的點H，證明其存在性；⑤當∠ABC=45°時，EF不一定是BC邊的高．

解答：解：①∵BD、CE為高，∴△BEC、△BDC是直角三角形．
∵F是BC的中點，∴EF=DF=

1

2

BC．故正確；
②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A公共，∴△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC．故正確；
③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵F是BC的中點，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF，∠ACB=∠CDF．
∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又EF=FD，∴△DEF是等邊三角形．故正確；
④若BE+CD=BC，則可在BC上截取BH=BE，則HC=CD．
∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．又∵BH=BE，HC=CD，
∴∠BHE+∠CHD=120°，∠EHD=60°．
所以存在滿足條件的點，假設成立，但一般情況不一定成立，故錯誤；
⑤當∠ABC=45°時，在Rt△BCE中，BC=

2

BE，在Rt△ABD中，AB=2AD，
由B、C、D、E四點共圓可知，△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AD

AB

=

1

2

，即

DE

2 BE

=

1

2

，∴BE=

2

DE，故正確；
故此題選C．

點評：此題考查了相似三角形的判定和性質，綜合性很強．