Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，過點D作DE∥AB，交∠BCD的平分線于點E，連接BE．
（1）求證：BC=CD；
（2）將△BCE繞點C，順時針旋轉90°得到△DCG，連接EG．求證：CD垂直平分EG；
（3）延長BE交CD于點P．求證：P是CD的中點．

Answer 1

分析：（1）延長DE交BC于F，得平行四邊形ABFD，根據平行四邊形的性質以及銳角三角函數的概念找到線段之間的關系，從而證明結論；
（2）根據旋轉的性質，只需說明ED=GD，CE=CG，即可證明；
（3）根據已知條件，要證明P是CD的中點，只需證明PD=AD，借助全等即可證明．

解答：證明：（1）延長DE交BC于F，
∵AD∥BC，AB∥DF，
∴AD=BF，∠ABC=∠DFC．
在Rt△DCF中，
∵tan∠DFC=tan∠ABC=2，
∴

CD

CF

=2，
即CD=2CF，
∵CD=2AD=2BF，
∴BF=CF，
∴BC=BF+CF=

1

2

CD+

1

2

CD=CD．
即BC=CD．

（2）∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
由（1）知BC=CD，
∵CE=CE，
∴△BCE≌△DCE，
∴BE=DE，
由圖形旋轉的性質知CE=CG，BE=DG，
∴DE=DG，
∴C，D都在EG的垂直平分線上，
∴CD垂直平分EG．

（3）連接BD，
由（2）知BE=DE，
∴∠1=∠2．
∵AB∥DE，
∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．
∵AD∥BC，∴∠4=∠DBC．
由（1）知BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC，∴∠4=∠BDP．
又∵BD=BD，∴△BAD≌△BPD，
∴DP=AD．
∵AD=

1

2

CD，∴DP=

1

2

CD．
∴P是CD的中點．

點評：根據已知條件巧妙構造輔助線，把證明線段相等轉化到全等三角形中或根據特殊四邊形的性質進行分析．