Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長(0A<OB)是方程組的解，點C是直線與直線AB的交點，點D在線段OC上，OD=
(1)求點C的坐標；
(2)求直線AD的解析式；
(3)P是直線AD上的點，在平面內是否存在點Q，使以0、A、P、Q為頂點的四邊形是菱形?若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1) (3，6) (2) y="-x+6" (3)  Q₁(-3，3) Q₂(3，-3) Q₃(3，-3) Q₄(6，6)

解：(1)OA=6，OB=12  ……………………………………………………………1分
直線AB……………………………………1分
聯立……………………………………2分
∴ 點C的坐標為(3，6)……………………………………………………1分
(2)
點D的坐標為(2，4)……………………………………………………1分
設直線AD的解析式為y=kx+b．
把A(6，0)，D(2，4)代人得……………………………………1分
解得
∴ 直線AD的解析式為y=-x+6  ………………………………………1分
(3)存在．
Q₁(-3，3)……………………………………………………………1分
Q₂(3，-3)………………………………………………………………1分
Q₃(3，-3)  …………………………………………………………………1分
Q₄(6，6)  ……………………………………………………………………1分
（1）設直線AB的解析為y=kx+b，解方程組方程組 2x=y，x-y="6" ，得到的解即為OA，OB的長度，進而知道A和B的坐標，再把其橫縱坐標分別代入求出k和b的值即可；把求出的解析式和直線y=2x聯立解方程組，方程組的解即為點C的坐標；
（2）要求直線AD的解析式，需求出D的坐標，因為點D在直線OC上因此可設D（a，2a），又因為OD=，由勾股定理可求出a的值，從而求得點D的坐標，把A、D的坐標代入，利用方程組即可求解；
（3）由（2）中D的坐標可知，DF=AF=4，所以∠OAD=45°，因為以O、A、P、Q為頂點的四邊形是菱形，所以需分情況討論：若P在x軸上方，OAPQ是菱形，則PQ∥OA，PQ=OA=6=AP，過P作PM⊥x軸，因為∠OAD=45°，利用三角函數可求出PM=AM=，OM=6-，即P（6- ， ），所以Q的橫坐標為6--6=-，Q1（-， ）；若P在x軸下方，OAPQ是菱形，則PQ∥OA，PQ=OA=6=AP．過P作PM⊥x軸，因為∠MAP=∠OAD=45°，利用三角函數可求出PM=AM=，OM=6+，即P（6+，-），所以Q的橫坐標為6+-6=，Q₂（，-）；若Q在x軸上方，OAQP是菱形，則∠OAQ=2∠OAD=90°，所以此時OAQP是正方形．又因正方形邊長為6，所以此時Q（6，6）；若Q在x軸下方，OPAQ是菱形，則∠PAQ=2∠OAD=90°，所以此時OPAQ是正方形．又因正方形對角線為6，由正方形的對稱性可得Q（3，-3）．