Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經過點A（1，

3

2

），其頂點E的橫坐標為2，此拋物線與x軸分別交于B（x₁，0），C（x₂，0）兩點，且x₂-x₁=4．
（1）求此拋物線的解析式及頂點坐標；
（2）連接EB、EC，判斷△BEC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了頂點E的橫坐標為2，即拋物線的對稱軸為x=2，聯立B、C的橫坐標差，即可求得B、C的坐標，然后將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程求出該拋物線的解析式，進而可將x=2代入上式求得頂點E的坐標；
（2）根據B、E、C三點坐標，可求得△BEC三邊的長，然后根據它們之間的關系來判斷△BEC的形狀．

解答：解：（1）∵拋物線頂點橫坐標為2，x₂-x₁=4，
∴x₁=0，x₂=4，
∴B（0，0），C（4，0），
由于拋物線經過A、B、C三點，則有：

a+b+c= 3 2 c=0 16a+4b+c=0

，
解得：

a=- 1 2 b=2 c=0

，
∴拋物線：y=-

1

2

x2+2x，
∵當x=2時，y=2，
∴E（2，2）；

（2）在△EBC中，x=2垂直平分BC，
EB=EC=

22+22

=2

2

，BC=4，
而EB²+EC²=16=BC²，
∴△EBC是等腰直角三角形．

點評：此題考查的是二次函數解析式的確定以及等腰直角三角形的判定，屬基礎題，較容易．