Question

某單位化50萬元買回一臺高科技設備．根據對這種型號設備的跟蹤調查顯示，該設備投入使用后，若將養護和維修的費用均攤到每一天，則有結論：第x天應付的養護和維修費為[

1

4

(x-1)+500]元．
（1）如果將該設備從開始投入使用到報廢所付的養護費，維修費及設備購買費之和均攤到每一天，叫做日平均損耗．請你將日平均損耗y（元）表示為x（天）的函數；
（2）按照此行業的技術和安全管理要求，當此設備的日平均損耗達到最小值時，就應當報廢．問該設備投入使用多少天應當報廢？
注：在解本題時可能要用到以下兩個知識點，如果需要可直接引用結論．
①對于任意正整數n，有1+2+3+…+n=

n (n+1)

2

；
②對于任意正數a，b和正實數x，有y=

a

x

+

x

b

≥2

ax xb

=2

a b

，當

x

a

=

b

x

時，函數y可取到最小值2

a b

．

Answer 1

分析：（1）算出從第一天到第x天所付的養護費，維修費總和為500+（500+

1

4

）+[500+

1

4

×2]+…+[

1

4

(x-1)+500]=[500x+

x(x-1)

8

]元，加上設備購買費，除以x得出日平均損耗；
（2）利用任意正數a，b和正實數x，有y=

a

x

+

x

b

≥2

ax xb

=2

a b

，當

x

a

=

b

x

時，函數y可取到最小值2

a b

整理（1）的函數解決問題．

解答：解：（1）由題意知從第一天到第x天所付的養護費，維修費總和為，
500+（500+

1

4

）+[500+

1

4

×2]+…+[

1

4

(x-1)+500]=[500x+

x(x-1)

8

]元，
日平均損耗函數y=[500x+

x(x-1)

8

+500000]÷x=

3999

8

+

x

8

+

500000

x

；

（2）由y=

3999

8

+

x

8

+

500000

x

≥

3999

8

+2

x 8 • 500000 x

=

3999

8

+500=

7999

8

，
即此設備的日平均損耗達到最小值為

7999

8

元，就應當報廢，
因此

1

4

(x-1)+500=

7999

8

，
解得x=2000.5，
故設備投入使用2000天應當報廢，
答：該設備投入使用2000天應當報廢．

點評：此題主要考查連續自然數連加計算公式：1+2+3+…+n=

n (n+1)

2

；以及利用任意正數a，b和正實數x，有y=

a

x

+

x

b

≥2

ax xb

=2

a b

，當

x

a

=

b

x

時，函數y可取到最小值2

a b

解決問題．