Question

在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；
（1）若∠C為直角，則a²+b²=c²；
（2）若∠C為銳角，則a²+b²與c²的關(guān)系為：a²+b²＞c²
證明：如圖過(guò)A作AD⊥BC于D，則BD=BC-CD=a-CD
在△ABD中：AD²=AB²-BD²
在△ACD中：AD²=AC²-CD²
AB²-BD²=AC²-CD²
c²-（a-CD）²=b²-CD²
∴a²+b²-c²=2a•CD
∵a＞0，CD＞0
∴a²+b²-c²＞0，所以：a²+b²＞c²
（3）若∠C為鈍角，試推導(dǎo)a²+b²與c²的關(guān)系．
（4）在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若△ABC是鈍角三角形，求第三邊c的取值范圍．

Answer 1

解：（3）如圖過(guò)A作AD⊥BC于D，則BD=BC+CD=a+CD
在△ABD中：AD²=AB²-BD²
在△ACD中：AD²=AC²-CD²
AB²-BD²=AC²-CD²
c²-（a+CD）²=b²-CD²
∴a²+b²-c²=-2a•CD
∵a＞0，CD＞0
∴a²+b²-c²＜0
所以：a²+b²＜c²
（4）當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，根據(jù)公式：＜c＜a+b可得，5＜c＜7；
當(dāng)∠B為鈍角時(shí)，根據(jù)公式：b-a＜c＜可得，1＜c＜．
分析：根據(jù)題意作圖，用證明（2）的方法證明即可推導(dǎo)出a²+b²與c²的關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理在實(shí)際中的運(yùn)用能力．