Question

（2009•房山區二模）如圖，已知拋物線經過點B（-2，3），原點O和x軸上另一點A，它的對稱軸與x軸交于點C（2，0）．
（1）求此拋物線的函數關系式；
（2）連接CB，在拋物線的對稱軸上找一點E，使得CB=CE，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接BE，設BE的中點為G，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PBG的周長最小？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的對稱軸可得出A點坐標，然后根據O、A、B三點坐標，用待定系數法可求出拋物線的解析式．
（2）可根據B、C的坐標，求出BC的長，然后根據CB=CE，將C點坐標向上或向下平移BC個單位即可得出E點坐標．
（3）本題的關鍵是確定P點的位置，可取B關于拋物線對稱軸的對稱點D，連接DG，直線DG與拋物線對稱軸的交點即為所求P點的位置．可先求出直線DG的解析式，然后聯立拋物線對稱軸方程即可求出P點坐標．
解答：解：（1）由題意知：A（4，0）；
設拋物線的解析式為y=ax（x-4），已知拋物線過B（-2，3）；則有：
3=ax（-2）×（-2-4），
a=
∴拋物線的解析式為：y=x²-x；

（2）過點B作BM⊥MC，
∵B點坐標為：（-2，3），C點坐標為：（2，0），
∴MC=4，BM=3，
BC==5，
∴|CE|=5，
∴E₁（2，5），E₂（2，-5）；

（3）存在．
①當E₁（2，5）時，G₁（0，4），設點B關于直線x=2的對稱點為D，
其坐標為（6，3）
直線DG₁的解析式為：y=-x+4，
∴P₁（2，）
②當E₂（2，-5）時，G₂（0，-1），直線DG₂的解析式為：y=x-1
∴P₂（2，）
綜合①、②存在這樣的點P，使得△PBG的周長最小，且點P的坐標為（2，）
或（2，）．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定、等腰三角形的判定、軸對稱圖形的性質等知識，（3）中能正確找出P點位置是解題的關鍵．