Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD= ，AB=6．在底邊AB上取點E，在射線DC上取點F，使得∠DEF=120°．
（1）當點E是AB的中點時，線段DF的長度是；
（2）若射線EF經過點C，則AE的長是 ．

Answer 1

【答案】
（1）6
（2）2或5
【解析】解：（1.）如圖1，過E點作EG⊥DF，
∵E是AB的中點，
∴DG=3，
∴EG=AD= ，
∴∠DEG=60°，
∵∠DEF=120°，
∴tan60°= ，
解得GF=3，
∴DF=6；
（2.）如圖2所示：

過點B作BH⊥DC，延長AB至點M，過點C作CM⊥AB于M，則BH=AD=MF= ，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，
∴∠BCH=60°，
∴CH=BM= = =1，
設AE=x，則BE=6﹣x，
在Rt△EFM中，EF= = = ，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠BEC，
∵∠DEF=∠B=120°，
∴△EDF∽△BCE，即△EDF∽△BFE
∴ ，
∴EF2=DFBE，即（7﹣x）2+3=7（6﹣x）
解得x=2或5
所以答案是：2或5．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對直角梯形的理解，了解一腰垂直于底的梯形是直角梯形．