Question

研究所對某種新型產品的產銷情況進行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產并銷售該產品提供了如下成果：第一年的年產量為x（噸）時，所需的全部費用y（萬元）與x滿足關系式y=

1

10

x²+5x+90，投入市場后當年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價p_甲，p_乙（萬元）均與x滿足一次函數關系．（注：年利潤=年銷售額-全部費用）
（1）成果表明，在甲地生產并銷售x噸時，P_甲=-

1

20

x+14，請你用含x的代數式表示甲地當年的年銷售額，并求年利潤W_甲（萬元）與x之間的函數關系式；
（2）成果表明，在乙地生產并銷售x噸時，P_乙=-

x

10

+n（n為常數），且在乙地當年的最大年利潤為35萬元．試確定n的值；
（3）受資金、生產能力等多種因素的影響，某投資商計劃第一年生產并銷售該產品18噸，根據（1），（2）中的結果，請你通過計算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產銷才能獲得較大的年利潤？
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

分析：依據年利潤=年銷售額-全部費用即可求得利潤W_甲（萬元）與x之間的函數關系式及利潤W_乙（萬元）與x之間的函數關系式，分別求出x=18時，W_甲和W_乙的值，通過比較W_甲和W_乙大小就可以幫助投資商做出選擇．

解答：解：（1）甲地當年的年銷售額為（-

1

20

x+14）•x=（-

1

20

x²+14x）萬元；
w_甲=（-

1

20

x²+14x）-（

1

10

x²+5x+90）=-

3

20

x²+9x-90．

（2）在乙地區生產并銷售時，
年利潤：
w_乙=-

1

10

x²+nx-（

1

10

x²+5x+90）
=-

1

5

x²+（n-5）x-90．
由

4ac-b2

4a

=

4×(- 1 5 )×(-90)-(n-5)2

4×(- 1 5 )

=35，
解得n=15或-5．
經檢驗，n=-5不合題意，舍去，
∴n=15．
（3）在乙地區生產并銷售時，年利潤
w_乙=-

1

5

x²+10x-90，
將x=18代入上式，得w_乙=25.2（萬元）；
將x=18代入w_甲=-

3

20

x²+9x-90，
得w_甲=23.4（萬元）．
∵W_乙＞W_甲，
∴應選乙地．

點評：本題是一道最佳方案選擇題，通過計算、比較同一個自變量的兩個函數值的大小來選擇最佳方案．
依據年利潤=年銷售額-全部費用即可求得利潤W_甲（萬元）與x之間的函數關系式及利潤W_乙（萬元）與x之間的函數關系式，分別求出x=18時，W_甲和W_乙的值，通過比較W_甲和W_乙大小就可以幫助投資商做出選擇．