Question

如圖，某廣場設計的一建筑物造型的縱截面是拋物線的一部分，拋物線的頂點O落在水平面上，對稱軸是水平線OC．點A、B在拋物線造型上，且點A到水平面的距離AC=4米，點B到水平面距離為2米，OC=8米．
（1）請建立適當的直角坐標系，求拋物線的函數解析式；
（2）為了安全美觀，現需在水平線OC上找一點P，用質地、規格已確定的圓形鋼管制作兩根支柱PA、PB對拋物線造型進行支撐加固，那么怎樣才能找到兩根支柱用料最省（支柱與地面、造型對接方式的用料多少問題暫不考慮）時的點P？（無需證明）
（3）為了施工方便，現需計算出點O、P之間的距離，那么兩根支柱用料最省時點O、P之間的距離是多少？（請寫出求解過程）

Answer 1

分析：（1）以點O為原點、射線OC為y軸的正半軸建立直角坐標系，可設拋物線的函數解析式為y=ax²，又由點A在拋物線上，即可求得此拋物線的函數解析式；
（2）延長AC，交建筑物造型所在拋物線于點D，連接BD交OC于點P，則點P即為所求；
（3）首先根據題意求得點B與D的坐標，設直線BD的函數解析式為y=kx+b，利用待定系數法即可求得直線BD的函數解析式，把x=0代入y=-x+4，即可求得點P的坐標．

解答：解：（1）以點O為原點、射線OC為y軸的正半軸建立直角坐標系，
設拋物線的函數解析式為y=ax²，
由題意知點A的坐標為（4，8）．
∵點A在拋物線上，
∴8=a×4²，
解得a=

1

2

，
∴所求拋物線的函數解析式為：y=

1

2

x²；

（2）找法：
延長AC，交建筑物造型所在拋物線于點D，
則點A、D關于OC對稱．
連接BD交OC于點P，則點P即為所求．

（3）由題意知點B的橫坐標為2，
∵點B在拋物線上，
∴點B的坐標為（2，2），
又∵點A的坐標為（4，8），
∴點D的坐標為（-4，8），
設直線BD的函數解析式為y=kx+b，
∴

2k+b=2 -4k+b=8

，
解得：k=-1，b=4．
∴直線BD的函數解析式為y=-x+4，
把x=0代入y=-x+4，得點P的坐標為（0，4），
兩根支柱用料最省時，點O、P之間的距離是4米．

點評：此題考查了二次函數的實際應用問題．解此題的關鍵是根據題意構建二次函數模型，然后根據二次函數解題．