Question

填空：
（1）方程x²+2x+1=0的根為x₁=

-1

，x₂=

-1

，則x₁+x₂=

-2

，x₁•x₂=

1

；
（2）方程x²-3x-1=0的根為x₁=

3+ 13

2

，x₂=

3- 13

2

，則x₁+x₂=

3

，x₁•x₂=

-1

；
（3）方程3x²+4x-7=0的根為x₁=

-

7

3

，x₂=

1

，則x₁+x₂=

-

4

3

，x₁•x₂=

-

7

3

．
由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并證明你的猜想．請用你的猜想解答下題：已知22+

3

是方程x²-44x+C=0的一個根，求方程的另一個根及C的值．

Answer 1

分析：（1）利用求根公式直接求出方程兩根即可得出兩根之和與兩根之積；
（2）利用求根公式直接求出方程兩根即可得出兩根之和與兩根之積；
（3）利用求根公式直接求出方程兩根即可得出兩根之和與兩根之積；由（1）（2）（3）中兩根之和與兩根之積的結果可以看出，兩根之和正好等于一次項系數與二次項系數之比的相反數，兩根之積正好等于常數項與二次項系數之比，進而求出另一個根及C的值即可．

解答：解：（1）方程x²+2x+1=0，
∵b ²-4ac=0，
∴x₁=x₂=-

2

2

=-1，
則x₁+x₂=-2，x₁•x₂=1；
故答案為：-1，-1，-2，1；

（2）方程x²-3x-1=0，
∵b ²-4ac=9+4=13＞0，
∴x=

3± 13

2

，
x₁=

3+ 13

2

，x₂=

3- 13

2

，則x₁+x₂=3，x₁•x₂=-1；
故答案為：

3+ 13

2

，

3- 13

2

，3，-1；


（3）方程3x²+4x-7=0
∵b ²-4ac=16+84=100＞0，
∴x=

-4± 100

6

，
∴x₁=-

7

3

，x₂=1，則x₁+x₂=-

4

3

，x₁•x₂=-

7

3

．
由（1）（2）（3）能得到：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；
∵當b ²-4ac＞0，
∴x=

-b± b2-4ac

2a

，
∴x ₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

，
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；
∵22+

3

是方程x²-44x+C=0的一個根，
∴x₁+x₂=22+

3

+x₂=-

-44

1

=44，
∴x₂=22-

3

，
∴x₁x₂=（22+

3

）（22-

3

）=C，
∴C=-481．

點評：本題考查了根與系數的關系以及解一元二次方程，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．