Question

如圖，在直角梯形ABCD中，以B點為原點建立直角坐標系，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．
（1）求證：AD=AE；
（2）若AD=8，DC=4，AB=10，求直線AC的解析式；
（3）在（2）中的條件下，在直線AC上是否存在P點，使得△PAD的面積等于△ABE的面積？若存在，請求出P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用平行線的性質以及等腰三角形的性質得出∠ACD=∠ACB，進而得出△ADC≌△AEC，即可得出答案；
（2）首先由AD=8，DC=4，AB=10，得出C，A點坐標，進而得出直線AC的解析式；
（3）首先求出S_△ABE=

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×6×8=24，設△PAD的邊AD上的高為h，則由S_△PAD=S_△ABE得出h的值，進而得出P點橫坐標，再代入y=2x+20得出縱坐標即可．

解答：解：（1）∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，
∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，
∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，
∴∠D=∠AEC=90°，
在△ADC和△AEC中

∠ADC=∠AEC ∠ACD=∠ACE AC=AC

，
∴△ADC≌△AEC （AAS），
∴AD=AE；

（2）∵AD=8，DC=4，AB=10，
∴可得點C的坐標為（-6，8），A（-10，0），
設直線AC的解析式為y=ax+b，則

-6a+b=8 -10a+b=0

，
解得：

a=2 b=20

∴直線AC的解析式為：y=2x+20；

（3）存在，
理由：延長AD，在直線AC上取一點P，連接PD，過點P作△ADP的高h，
∵AD=AE=8，AB=10，
∴BE=6，
∴S_△ABE=

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×6×8=24，
設△PAD的邊AD上的高為h，
則由S_△PAD=S_△ABE得

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×8×h=24，
解得：h=6，
所以P的橫坐標為-4或-16，
代入y=2x+20得：
y=2×（-4）+20=12，或y=2×（-16）+20=-12，
∴P點的縱坐標為12或-12，
所以P的坐標為（-4，12）或（-16，-12）．

點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式以及函數圖象上點的坐標特點以及全等三角形的判定與性質等知識，得出直線AC的解析式是解題關鍵．