Question

給出三條線段a=

3

+1，b=2，c=

6

．
（1）操作：
①求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c；
②作∠C的角平分線交AB于點D；
（2）求：
①

AD

DB

的值；
②△ABC和△BCD的最小覆蓋圓的半徑r₁、r₂．

Answer 1

分析：（1）①根據三角形的作法，按步驟作出即可；
②按照角平分線的作法，作圖即可；
（2）①利用勾股定理得出AF²=AC²-FC²，AF²=AB²-BF²，求出三角形的角即可；
②利用三角形外接圓半徑公式求出即可．

解答：解：（1）①作射線在射線上截取a=BC，
再分別以B，C為圓心，c，b為半徑畫弧，兩弧交點即是A點位置，連接AB，AC即可得出△ABC，
②以C為圓心，任意長為半徑畫弧，再以弧與角的兩邊交點為圓心，大于兩點之間距離的一半為半徑，畫弧兩弧交點即是角平分線上的點，連接即可；

（2）①作AF⊥BC，DE⊥BC，
假設CF=x，BF=

3

+1-x，
∴2²-x²=（

6

）²-（

3

+1-x）²，
解得：x=1，
∴BF=

3

，
AF=

3

，
∴∠BCA=60°，∠B=45°，
同理可得出：BE=DE=1，
∴BD=

2

，
∴AD=

6

-

2

，
∴

AD

DB

=

6 - 2

2

=

3

-1；
②∵三角形的外接圓半徑與邊角之間的關系為：
R=

a

2sinA

=

b

2sinB

=

c

2sinC

，
∴△ABC的最小覆蓋圓的半徑r₁=

2

2sinB

=

1

2 2

=

2

；
△BCD的最小覆蓋圓的半徑r₂=

BD

2sin30°

=

2

1

=

2

．

點評：此題主要考查了已知三邊作三角形以及角平分線的作法和勾股定理以及三角形的外接圓半徑與邊角之間的關系，熟練記憶相關公式求出三角形的角度是解決問題的關鍵．