Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點E、F，與AB分別相交于點G、H，且EH的延長線與CB的延長線交于點D，則CD的長為

 

．

Answer 1

分析：先連接OE、OF，由于ACBC是切線，可知∠OEC=∠OFC=90°，又OE=OF，∠C=90°，可證四邊形CEOF是正方形，易得OE∥BC，而O是AB的中點，利用平行線分線段成比例定理的推論，可證AE=CE，易求AE=CE=1，即OH=1，利用OE∥CD，可得△OEH∽△BDH，利用相似三角形的性質可求BD，從而易求CD．

解答：解：如右圖所示，連接OE、OF，
∵⊙O與AC、BC切于點E、F，
∴∠OEC=∠OFC=90°，OE=OF，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=90°，
∴四邊形CEOF是正方形，
∴OE∥BC，
又∵O是AB的中點，
∴AE=CE，
又∵AC=2，
∴AE=CE=1，
∴OE=OF=CE=1，
∴OH=1，
∵OE∥CD，
∴△OEH∽△BDH，
∴

OE

OH

=

DB

BH

，
又∵AB=

AC2+BC2

=2

2

，
∴OB=

2

，
∴

1

1

=

DB

2 -1

，
∴BD=

2

-1，
∴CD=2+BD=

2

+1．

點評：本題考查了正方形的判定和性質、勾股定理、等腰直角三角形的性質、平行線分線段成比例定理的推論、相似三角形的判定和性質、切線的性質．解題的關鍵是構造正方形CEOF．