Question

如圖：拋物線 y=x²+4x+k與軸交于A、B兩點，設此拋物線的頂點為C
（1）求拋物線頂點C的坐標（用k表示）
（2）若△ABC為直角三角形，求k的值．
（3）若△ABC是等邊三角形，k的值是多少？（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】分析：（1）直接將二次函數化為頂點式，即可直接得出結果；
（2）欲求k的值，過點C作CD⊥x軸于點D，利用拋物線的性質可知△ABC為等腰直角三角形，可得出BD=CD=4-k，從而可表示出點B的坐標，代入解析式中即可得出k的值；
（3）同（2）；
解答：解：（1）y=x²+4x+k
=（x+2）²+k-4
∴拋物線的頂點C的坐標為（-2，k-4）（4分）．

（2）過點C作CD⊥x軸于點D，由拋物線的對稱性可得CA=CB
∵△ABC是直角三角形
∴BD=CD=4-k
∵拋物線的對稱軸是直線x=-2
∴點B的坐標為（2-k，0）
將點B的坐標代入拋物線的解析式：（2-k）²+4（2-k）+k=0
整理得：k²-7k+12=0
解得k=3或k=4
當k=4時，A、B重合，不合題意，∴k=3（10分）．

（3）k=1（12分）．
點評：本題主要考查了拋物線解析式的確定、以及直角三角形和等邊三角形的一些性質等知識點，同時也考查了學生數形結合的數學思想方法．