Question

如圖，拋物線y=x²-x+a與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，其頂點在直線y=-2x上．
（1）求a的值；
（2）求A，B的坐標；
（3）以AC，CB為一組鄰邊作?ACBD，則點D關于x軸的對稱點D′是否在該拋物線上？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據二次函數的頂點坐標的求法得出頂點坐標，再代入一次函數即可求出a的值；
（2）根據二次函數解析式求出與x軸的交點坐標即是A，B兩點的坐標；
（3）根據平行四邊形的性質得出D點的坐標，即可得出D′點的坐標，即可得出答案．
解答：解：（1）∵拋物線y=x²-x+a其頂點在直線y=-2x上．
∴拋物線y=x²-x+a，
=（x²-2x）+a，
=（x-1）²-+a，
∴頂點坐標為：（1，-+a），
∴y=-2x，-+a=-2×1，
∴a=-；

（2）二次函數解析式為：y=x²-x-，
∵拋物線y=x²-x-與x軸交于點A，B，
∴0=x²-x-，
整理得：x²-2x-3=0，
解得：x=-1或3，
A（-1，0），B（3，0）；

（3）作出平行四邊形ACBD，作DE⊥AB，
在△AOC和△BDE中
∵
∴△AOC≌△BED（AAS），
∵AO=1，
∴BE=1，
∵二次函數解析式為：y=x²-x-，
∴圖象與y軸交點坐標為：（0，-），
∴CO=，∴DE=，
D點的坐標為：（2，），
∴點D關于x軸的對稱點D′坐標為：（2，-），
代入解析式y=x²-x-，
∵左邊=-，右邊=×4-2-=-，
∴D′點在函數圖象上．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及平行四邊形的性質，根據平行四邊形的性質得出D點的坐標是解決問題的關鍵．