Question

課題:探究能拼成正多邊形的三角形的面積計算公式.
【小題1】如圖1,三角形的三邊長分別為a、b、c，∠A＝60°，現將六個這樣的三角形（設面積為）拼成一個六邊形，由于大六邊形三個角都是∠B+∠C=120°,所以由a邊圍成了一個大的正六邊形，其面積可計算出為         ；由于所圍成的小六邊形的邊長都是       ，其面積為           ，由此可得＝                   .
【小題2】如圖2, 三角形的三邊長分別為a、b、c，∠A＝120°，試用這樣的三角形拼成一個正三角形(設面積為),先畫出這個正三角形,再推出的計算公式;
【小題3】推廣:
對于三角形的三邊長分別為a、b、c，當∠A取什么值時,能拼成一個任意正邊形嗎?如果能,試寫出∠A和三角形的面積的表達式;如果不能,請簡要說明理由.

Answer 1

【小題1】解：（1）,  b－c  ,, 
【小題2】如圖2畫出正三角形花環,
∵大三角形的邊長都是a,小三角形的邊長都是b－c,
∴兩個三角形都是正三角形,
可求得大三角形面積為,小三角形的面積為,∴==
【小題3】當∠A=時, 能拼成一個任意正邊形花環,此時大正邊形的面積為,花環內小正邊形的面積為,∴=

解析