Question

已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，過AB的中點E作AC的垂線EF，交AD于點M，交CD的延長線于點F．
（1）求證：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證△AME是等腰三角形．則AM=AE=AB=AD，就可以證出；
（2）同理可以證出△DFM是等腰三角形，則DF=AD，就可以求出邊長，求出周長．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC．
又∵EF⊥AC，
∴AC是EM的垂直平分線，
∴AE=AM，
∵AE=AM=AB=AD，
∴AM=DM．

（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AEM=∠F．
又∵∠FMD=∠AME，∠AME=∠AEM，
∴∠FMD=∠F，
∴△DFM是等腰三角形，
∴DF=DM=AD．
∴AD=4．
∴菱形ABCD的周長是16．
點評：本題主要考查了等腰三角形的性質，等邊對等角．線段的垂直平分線的性質，線段垂直平分線上的點，到線段兩端的距離相等．