Question

（12分）如圖，已知平面直角坐標系中，⊙O的圓心在坐標原點，直線l與軸相交于點P，與⊙O相交于A、B兩點，∠AOB=90°．點A和點B的橫坐標是方程的兩根，且兩根之差為3．

（1）求方程的兩根；

（2）求A、B兩點的坐標及⊙O的半徑；

（3）把直線l繞點P旋轉，使直線l與⊙O相切，求直線l的解析式．

 

Answer 1

（1）2和－1；（2）A（﹣1，2），B（2，1），；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）設方程的兩根分別為，根據點A和點B的橫坐標是方程的兩根，且兩根之差為3列出方程組，再求解即可；

（2）過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，先證出△AOC≌△OBD，求出BD=OC=1，AC=OD=2，再求出點A、B的坐標，即可求出OA，

（3）設直線AB的解析式為，求出，當時，求出P的坐標，當直線l與⊙O的切點在第一象限時，設直線l與⊙O相切于點E，過點E作EF⊥x軸于點F，根據OE⊥PE，求出PE，根據S△POE=OP•EF=OE•PE，求出EF，從而得出OF=1，E（1，2），設直線l的解析式為，則，求出，當直線l與⊙O的切點在第四象限時，同理可求得．

試題解析：（1）設方程的兩根分別為，由已知得：，解得，則方程的兩根分別為2和﹣1；

（2）過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，

在△AOC和△OBD中，∵∠BDO=∠OCA，∠BOD=∠OAC，OA=OB，∴△AOC≌△OBD（AAS）

∴BD=OC=1，AC=OD=2，∴A（﹣1，2），B（2，1），

∴OA=，

（3）設直線AB的解析式為，則，解得，∴，

當時，，解得，∴P（5，0），

當直線l與⊙O的切點在第一象限時，設直線l與⊙O相切于點E，過點E作EF⊥x軸于點F，

∵PE是⊙O的切線，∴OE⊥PE，∴PE=，

∵S△POE=OP•EF=OE•PE，∴5EF=，∴EF=2，∴OF==1，E（1，2），

設直線l的解析式為，則，解得，∴，

當直線l與⊙O的切點在第四象限時，同理可求得．

考點：圓的綜合題．