Question

揚州市政府大力扶持大學生創業．李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的小商品．銷售過程中發現，月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數：y=-10x+n．物價部門規定銷售單價不得超過36元，且當銷售單價x（元）定為25元時，李明每月銷售量為250件．
（1）求n的值；
（2）當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？并求最大利潤為多少元．
（3）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？

Answer 1

分析：（1）將（25，250）代入y=-10x+n，可得出n的值；
（2）設每月的利潤為w，根據月總利潤=月銷售量×單件利潤，可得w關于x的函數關系式，利用配方法求最值即可；
（3）令w=2000，可得一元二次方程，解出即可．

解答：解：（1）將（25，250）代入可得：250=-10×25+n，
解得：n=500；

（2）設每月的利潤為w，
則w=（x-20）（-10x+500）=-10x²+700x-10000=-10（x-35）²+2250，
當x=35時，w取得最大，w_最大=2250元．
答：當銷售單價定為35元時，每月獲得的利潤最大，最大利潤為2250元．

（3）當w=2000元時，（x-20）（-10x+500）=2000，
解得：x₁=30，x₂=40＞36（舍去）．
故銷售單價應定為30元/件．
答：如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為30元．

點評：本題考查了二次函數的應用，解答本題關鍵是建立函數關系式，將實際問題轉化為數學模型，注意配方法求二次函數最值的應用．