Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A（﹣2，0）、B兩點，與y軸交于C點，其對稱軸為直線x=1．

（1）直接寫出拋物線的解析式： ；

（2）把線段AC沿x軸向右平移，設平移后A、C的對應點分別為A′、C′，當C′落在拋物線上時，求A′、C′的坐標；

（3）除（2）中的點A′、C′外，在x軸和拋物線上是否還分別存在點E、F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出E、F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）C′（2，4），A′（0，0）．（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）先求得B點的坐標，然后根據待定系數法交點拋物線的解析式；

（2）根據平移性質及拋物線的對稱性，求出A′、C′的坐標；

（3）以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，可能存在3種滿足條件的情形，需要分類討論，避免漏解．

解：（1）∵A（﹣2，0），對稱軸為直線x=1．

∴B（4，0），

把A（﹣2，0），B（4，0）代入拋物線的表達式為：

，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+4；

（2）由拋物線y=﹣x2+x+4可知C（0，4），

∵拋物線的對稱軸為直線x=1，根據對稱性，

∴C′（2，4），

∴A′（0，0）．

（3）存在．

設F（x，﹣x2+x+4）．

以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，

①若AC為平行四邊形的邊，如答圖1﹣1所示，則EF∥AC且EF=AC．

過點F1作F1D⊥x軸于點D，則易證Rt△AOC≌Rt△E1DF1，

∴DE1=2，DF1=4．

∴﹣x2+x+4=﹣4，

解得：x1=1+，x2=1﹣．

∴F1（1+，﹣4），F2（1﹣，﹣4）；

∴E1（3+，0），E2（3﹣，0）．

②若AC為平行四邊形的對角線，如答圖1﹣2所示．

∵點E3在x軸上，∴CF3∥x軸，

∴點C為點A關于x=1的對稱點，

∴F3（2，4），CF3=2．

∴AE3=2，

∴E3（﹣4，0），

綜上所述，存在點E、F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形；

點E、F的坐標為：E1（3+，0），F1（1+，﹣4）；E2（3﹣，0），F2（1﹣，﹣4）；E3（﹣4，0），F3（2，4）．