Question

已知關于x的方程x²-2（k+1）x+k²+k-2=0有實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若以此方程的兩個根為橫坐標、縱坐標的點P恰好在雙曲線上，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式的意義得△=[-2（k+1）]²-4×（k²+k-2）≥0，即4k+12≥0，解不等式即可；
（2）設原方程的兩個根為x₁，x₂，而以此方程的兩個根為橫坐標、縱坐標的點P恰好在雙曲線上，則x₁x₂=1-k，且1-k≠0，再根據根與系數的關系得x₁x₂=k²+k-2，這樣就得到關于k的方程k²+k-2=1-k，解方程，即可得到滿足條件的k的值．
解答：解：（1）∵方程x²-2（k+1）x+k²+k-2=0有實數根．
∴△=[-2（k+1）]²-4×（k²+k-2）≥0，即4k+12≥0，
解得 k≥-3；
（2）設原方程的兩個根為x₁，x₂，
根據題意得x₁x₂=1-k，且1-k≠0，
又由一元二次方程根與系數的關系得：x₁x₂=k²+k-2，
∴k²+k-2=1-k，
解得 k₁=1，k₂=-3，
而k≠1，
∴k=-3．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系．