Question

已知：如圖，AB是半圓O的直徑，C為AB上一點，AC為半圓O′的直徑，BD切半圓O′于點D，CE⊥AB交半圓O于點F．
（1）求證：BD=BE；
（2）若兩圓半徑的比為3：2，試判斷∠EBD是直角、銳角還是鈍角？并給出證明．

Answer 1

證明：（1）連接DO′，
∵BD切半圓O′于點D，
∴∠O'DB=90°，
∴△BDO′是直角三角形，
設大圓半徑R小圓半徑r，
則BD²=O′B²-DO′²
即為BD²=（2R-r）²-r²，
整理得：BD²=4R²-4Rr
∵CE垂直AB，可用射影定理得EB²=AB•BC，
代入數值得：BE²=（2R-2r）×2R，
整理得：BE²=4R²-4Rr，
∴BD²=BE²，
∵BD＞0，BE＞0，
∴BD=BE；

（2）∠EBD是銳角，
∵兩圓半徑的比為3：2，
∴AB：AC=3：2．
設AB=3k，則AC=2k，
∴BC=AB-AC=k，
∴O′B=O′C+BC=2k，
在R t△O′DB中，
sin∠O′BD=，
∵sin30°=
∴∠O′BD＜30°，
∵CE²=AC•BC=2k•k，
進而求得EC=k．
在Rt△ECB中，
tan∠EBC==，
∵tan60°=，
∴∠EBC＜60°．
∴∠EBD=∠EBC+∠O′BD＜60°+30°=90°．
∴∠EBD是銳角．
分析：（1）連接DO'，有切線的性質可知∠O'DB是直角，設大圓半徑R小圓半徑r，由勾股定理和射影定理（或三角形相似）即可證明BD=BE；
（2）∠EBD是銳角，設AB=3k，則AC=2k，利用銳角三角函數即可證明∠ABD＜30°，∠EBC＜60°，進而證明∠EBD=∠ABD+∠EBC＜90°．
點評：本題考查了切線的性質，勾股定理，以及銳角三角函數的知識，解題時要先明白題意，弄清每個已知條件的具體意義和作用，再解題，判斷一個角是銳角、直角還是鈍角，初中階段只能從銳角三角函數的值入手，這是本題的基本思路．本題證明兩條線段相等，沒用常規的證明全等的方法，而是用相似三角形的線段成比例和圓的切割線定理．這一方法在今后的學習中值得借鑒．