Question

如圖，在平面直角坐標系中，將一個正方形ABCD放在第一象限斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2）、點B（1，0），拋物線y=ax²-ax-2經過點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在點P與點Q（點C、D除外）使四邊形ABPQ為正方形？若存在求出點P、Q兩點坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）作CE⊥x軸于點E，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OAB=∠EBC
∴Rt△AOB≌Rt△CEB，
∵A（0，2）、點B（1，0），
∴AO=2，BO=1
得OE=2+1=3，CE=1
∴C點坐標為（3，1）；

（2）∵拋物線經過點C，
∴1=a×3²-a×3-2，
∴a=，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2；

（3）在拋物線上存在點P、Q，使四邊形ABQP是正方形．
以AB為邊在AB的左側作正方形ABPQ，過P作PE⊥OA于E，QG⊥x軸于G，可證△PEA≌△BQG≌△BAO，

∴PE=BG=AO=2，AE=QG=BO=1，
∴P點坐標為（-2，1），Q點坐標為（-1，-1）．
由（1）拋物線y=x²-x-2，
當x=-2時，y=1；當x=-1時，y=-1．
∴P、Q在拋物線上．
故在拋物線上存在點P（-2，1）、Q（-1，-1），使四邊形ABQP是正方形．
分析：（1）作CE⊥x軸于點E，根據四邊形ABCD為正方形，得到Rt△AOB≌Rt△CEA，因此OA=BE=2，OB=CE=1，據此可求出C點坐標；
（2）然后將C點坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．
（3）可以AB為邊在拋物線的左側作正方形AQPB，過P作PE⊥y軸，過Q作QG垂直x軸于G，不難得出△PEA≌△BQG≌△BAO，據此可求出P，Q的坐標，然后將兩點坐標代入拋物線的解析式中即可判斷出P、Q是否在拋物線上．
點評：本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式、正方形的判定、全等三角形的判定和性質等知識點．綜合性強，涉及的知識點多，難度較大．