Question

觀察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，將以上三個等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接寫出下列各式的計算結果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2012×2013

=

2012

2013

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

．
（3）探究并計算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2012×2014

．

Answer 1

分析：（1）觀察得到分子為1，分母為兩個相鄰整數的分數可化為這兩個整數的倒數之差，即

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）①由（1）的規律，分別將每一個式子寫成兩個分數差的形式，再計算；
②由（1）的規律，分別將每一個式子寫成兩個分數差的形式，再計算；
（3）先提

1

4

出來，然后和前面的運算方法一樣．

解答：解：（1）

1

n

-

1

n+1

；

（2）①原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2012

-

1

2013

=1-

1

2013

=

2012

2013

；

②原式═1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（3）原式=

1

4

（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

1006×1007

）
=

1

4

（1-

1

1007

）
=

503

2014

．
故答案為

1

n

-

1

n+1

；

2012

2013

；

n

n+1

．

點評：本題考查了關于數字變化的規律：通過觀察數字之間的變化規律，得到一般性的結論，再利用此結論解決問題．