Question

已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC，過點C作CD⊥AB于點D．

(1)當點E為DB上任意一點(點D、B除外)時，連接CE并延長交⊙O于點F，AF與CD的延長線交于點G(如圖①)．求證：AC²＝AG·AF．

(2)李明證明(1)的結論后，又作了以下探究：當點E為AD上任意一點(點A、D除外)時，連接CE并延長交⊙O于點F，連接AF并延長與CD的延長線在圓外交于點G，CG與⊙O相交于點H(如圖②)．連接FH后，他驚奇的發現∠GFH＝∠AFC．根據這一條件，可證GF·GA＝GH·GC．請你幫李明給出證明．

(3)當點E為AB的延長線上或反向延長線上任意一點(點A、B除外)時，如圖③、④所示，還有許多結論成立．請你根據圖③或圖④再寫出兩個類似問題(1)、(2)的結論(兩角、兩弧、兩線段相等或不相等的關系除外)(不要求證明)．

Answer 1

 (1)證明：延長CG交⊙O于H，

∵CD⊥AB   ∴AB平分CH     ∴弧CH＝弧AH     ∴∠ACH＝∠AFC

又∠CAG＝∠FAC     △AGC∽△ACF    ∴＝

即AC²＝AG·AF

(2)∵CH⊥AB    ∴弧AC＝弧AH      ∴∠AFC＝∠ACG

    又∠AFC＝∠GFH     ∴∠ACG＝∠GFH   又∠G＝∠C

∴△GFH∽△GCA    ∴＝

∴GF·GA＝GC·CH

(3)CD²＝AD·DB     AC²＝AD·AB     EF·EC＝EA·EB      AF·GA＝AD·AB