Question

在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，過點B作∠CBE=∠A，BE與射線CA相交于點E，與射線CD相交于點F．
（1）如圖，當點E在線段CA上時，求證：BE⊥CD；
（2）如果BE=CD，那么線段AC與BC之間具有怎樣的數量關系？并證明你所得到的結論；
（3）如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度數．

Answer 1

解：（1）∵∠CBE=∠A，
∴∠CBE+∠EBA=∠A+∠EBA，即：∠CBA=∠BEC，
∵∠ACB=90°，D是AB的中點，
∴CD=BD，
∴∠CBA=∠DCB，
∴∠DCB=∠BEC，
∵∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠BEC+∠ACD=90°，
∴BE⊥CD；

（2）線段AC與BC之間的數量關系是 （AC=2BC），
∵∠CBE=∠A，∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴，
∵BE=CD，，
∴．

（3）∵△BDF是等腰三角形，∠BFD=90°，
∴∠BDF=45°．
①當點E在線段CA上時，∠A=∠BDF=22.5°；
②當點E在線段CA延長線上時，∠BAC=．
分析：（1）根據角之間的等量關系及中點的特點即可得出答案；
（2）根據題意易證△BCE∽△ACB，根據相似三角形比例關系即可得出結論；
（3）分①點E在線段CA上時；②點E在線段CA延長線上討論求解．
點評：本題主要考查了直角三角形斜邊中線的性質及相似三角形的證明及性質，難度適中．