Question

已知：如圖，四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，OB=OD，∠BAO=∠DCO．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）把線段AC繞O點順時針旋轉，使AC⊥BD，這時四邊形ABCD是什么四邊形？簡要說明理由；
（3）在（2）中，當AC⊥BD后，又分別延長OA、OC到點A₁，C₁，使OA₁=OC₁=OD，這時四邊形A₁BC₁D是什么四邊形？簡要說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AC與BD相交于點O，
∴∠AOB=∠COD，（1分）
在△AOB和△COD中，

∠BAO=∠DCO ∠AOB=∠COD OB=OD

∴△AOB≌△COD，（2分）
∴OA=OC，（3分）
∵OA=OC，OB=OD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形（4分）

（2）四邊形ABCD是菱形．（5分）
因為對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．（6分）
（或對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）

（3）四邊形A₁BC₁D是正方形（7分）
因為對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．（8分）
（或對角線相等的菱形是正方形）