Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點C且

AC

=

AD

，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足為F，BF交⊙O于G．
（1）求證：CE²=FG•FB；
（2）若tan∠CBF=

1

2

，AE=3，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）由切割線定理知：CF2=FG•FB，欲證本題的結論，需先證得CE=CF；可通過證△BCE≌△BCF得出．
（2）欲求⊙O的直徑，已知AE的長，關鍵是求出BE的長度；在Rt△ABC中，CE⊥AB，根據射影定理得到CE²=AE•EB，由此可求出BE的長．

解答：（1）證明：連接AC；
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°．
∵

AC

=

AD

，且AB是直徑；
∴AB⊥CD；
即CE是Rt△ABC的高；
∴∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC；
∵CF是⊙O的切線，
∴∠FCB=∠A，CF²=FG•FB；
∴∠FCB=∠ECB；
∵∠BFC=∠CEB=90°，CB=CB，
∴△BCF≌△BCE；
∴CE=CF，∠FBC=∠CBE；
∴CE²=FG•FB．

（2）解：∵∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE，
∴∠ACE=∠CBF；
∴tan∠CBF=tan∠ACE=

1

2

=

AE

CE

；
∵AE=3，
∴

3

CE

=

1

2

?CE=6；
在Rt△ABC中，CE是高，
∴CE²=AE•EB，即6²=3EB，
∴EB=12；
∴⊙O的直徑為：12+3=15．

點評：命題立意：此題綜合運用了圓周角的性質、垂徑定理、切割線定理、三角形全等、解直角三角形等知識．
點評：此題綜合性較強，采用層層深入的方法進行逐一解答．