Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知矩形AOBC，AO=2，BO=3，函數的圖象經過點C．
（1）直接寫出點C的坐標；
（2）將矩形AOBC分別沿直線AC，BC翻折，所得到的矩形分別與函數的圖象交于點E、F，求線段EF．
（3）①在（2）條件下，如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，是否存在以點F，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，試求點N 的坐標；若不存在，請說明理由．
②若點P、Q分別在函數圖象的兩個分支上，請直接寫出線段P、Q兩點的最短距離（不需證明）；并利用圖象，求當時x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵AO=2，BO=3，且C在第一象限，
∴C（3，2）；
（2）把C（3，2）代入y=（k≠0），得2=，
解得：k=6，
∴y=，
∵OD=2OA=4，OG=2OB=6，
∴D（0，4），G（6，0），
把y=4代入y=，得x=，
∴E（，4），
把x=6代入y=，得y=1，
∴F（6，1），
則由勾股定理得：EF==；
（3）①分兩種情況，
（i）若以線段EF為平行四邊形FEMN的一邊，
∵四邊形FEMN是平行四邊形，
∴FE∥MN，FE=MN，
設直線EF的解析式為y=kx+b（k≠0），
將E和F的坐標代入得：，
解得：，
∴直線EF方程：y=-x+5，
∴FE∥MN，
∴設直線MN方程：y=-x+n，
令x=0，求得：y=n；令y=0，求得：x=n，
∴M（n，0），N（0，n），
在Rt△MNO中，OM=n，ON=n，MN=EF=，
由勾股定理得：OM²+ON²=MN²，即（n）²+n²=（）²，
解得：n=3或n=-3，
∴N（0，3）或N（0，-3）；
（ii）若以線段EF為平行四邊形FEMN的對角線，
此時可求得點N（0，5）在直線EF：y=-x+5上，
∴點F，E，M，N四點在同一直線上，因而平行四邊形FEMN不存在，
綜上，滿足條件的點N坐標為 （0，3）與 （0，-3）；
②將y=x代入y=中，得：x²=6，
解得：x=或-，
∴P（，），Q（-，-），
此時PQ的距離最短，最短距離PQ==，
根據圖象，當≤x時，x的取值范圍為：-≤x＜0或x≥．
分析：（1）由平面直角坐標系中C的位置，得到OA的長為點C的縱坐標，OB的長為點C的橫坐標，根據點C在第一象限，寫出C的坐標即可；
（2）將（1）求出的C坐標代入反比例解析式中，求出k的值，確定出反比例解析式，由折疊可得E的縱坐標等于2OA，F的橫坐標等于2OB，將求出E的縱坐標代入反比例解析式中，求出E的橫坐標，將F的橫坐標代入反比例解析式中求出F的縱坐標，確定出E和F的坐標，利用兩點間的距離公式即可求出EF的長；
（3）①分兩種情況考慮：（i）若以線段EF為平行四邊形FEMN的一邊，由平行四邊形的性質得到FE與MN平行且相等，設直線EF的解析式為y=kx+b（k≠0），將E和F的坐標代入，得到關于k與b的二元一次方程組，求出方程組的解得到k與b的值，確定出直線EF的解析式，由兩直線平行時斜率相等，得到直線MN解析式為y=kx+n，分別令x=0及y=0，求出對應的y與x的值，表示出M與N的坐標，由EF的長，根據MN=EF得出MN的長，在直角三角形MON中，由OM，ON，及MN的長，利用勾股定理列出關于n的方程，求出方程的解得到n的值，即可確定出N的坐標；（ii）若以線段EF為平行四邊形FEMN的對角線，此時可求得點N（0，5）在直線EF上，可得點F，E，M，N四點在同一直線上，因而平行四邊形FEMN不存在，綜上，得到滿足題意的N的坐標；
②當P與Q的橫縱坐標絕對值相等時，PQ的距離最小，令y=x，代入反比例解析式中求出x的值，即為y的值，確定出P與Q的坐標，即可求出OP與OQ的長，由OP+OQ即可求出P、Q最短距離PQ的長；由求出P與Q兩點的橫坐標及原點O的橫坐標，將x分為4段：x＜-，-＜x＜0，0＜x＜，x＞，找出一次函數y=x在反比例函數圖象上方時x的范圍，即為所求x的范圍．
點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，折疊的性質，勾股定理，一次函數與坐標軸的交點，待定系數法確定一次函數解析式，利用了數形結合及分類討論的思想，是中考常考的壓軸題．