Question

對于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列說法：
①若b=2，則方程ax²+bx+c=0一定有兩個相等的實數根；
②若方程ax²+bx+c=0有兩個不等的實數根，則方程x²-bx+ac=0也一定有兩個不等的實數根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一個根，則一定有ac+b+1=0成立；
④若x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0的根，則b²-4ac=（2ax₀+b）²，其中正確的

1. A.
   只有①②③
2. B.
   只有①②④
3. C.
   ①②③④
4. D.
   只有③④

Answer 1

B
分析：判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b²-4ac的值的符號就可以了．④難度較大，用到了求根公式表示x₀．
解答：①若b=2，方程兩邊平方得b²=4ac，即b²-4ac=0，所以方程ax²+bx+c=0一定有兩個相等的實數根；
②若方程ax²+bx+c=0有兩個不等的實數根，則b²-4ac＞0
方程x²-bx+ac=0中根的判別式也是b²-4ac=0，所以也一定有兩個不等的實數根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一個根，則一定有ac²+bc+c=0成立，
當c≠0時ac+b+1=0成立；當c=0時ac+b+1=0不成立；
④若x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0的根，可得x₀=，
把x₀的值代入（2ax₀+b）²，可得b²-4ac=（2ax₀+b）²，
綜上所述其中正確的①②④．
故選B
點評：此題主要考查了根的判別式及其應用．尤其是④難度較大，用到了求根公式表示x₀，整體代入求b²-4ac=（2ax₀+b）²．
總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．