Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC兩個外角的平分線．
（1）求證：AC=AD；
（2）若∠B=60°，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠FAD=∠B，以及AD∥BC，再利用∠D=∠ACD，證明AC=AD；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法得出四邊形ABCD是平行四邊形，再利用菱形的判定得出．

解答：證明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAD=∠DAC=

1

2

∠FAC，
∵∠B+∠BCA=∠FAC，
∴∠B=

1

2

∠FAC，
∴∠B=∠FAD，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠DCE，
∴∠D=∠ACD，
∴AC=AD；

（2）∵∠B=60°，AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，
∴∠ACB=60°，
∠FAC=∠ACE=120°，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠B=∠D=60°，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB=BC，
∴平行四邊形ABCD是菱形．

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定和角平分線的性質(zhì)等內(nèi)容，注意菱形與平行四邊形的區(qū)別，得出AB=BC是解決問題的關(guān)鍵．