Question

請解決下列問題：
（1）如圖甲，⊙O₁與⊙O₂外切于點P，AB是⊙O₁的弦，分別以A、B為端點過P作射線交⊙O₂于A′、B′，圖中是否存在相似三角形？請給予說明；
（2）如圖乙，相交于C、P兩點，AB是⊙O₁的弦，分別以A、B為端點過P作射線交⊙O₂于A′、B′，圖中是否存在分別以AB、A′B′為一邊的兩個相似三角形？請給予說明．

Answer 1

解：（1）存在，△ABP∽△A′B′P．
理由如下：過點P作兩圓的內公切線MN，
則∠MPA=∠B，∠NPA′=∠B′
而∠MPA=∠NPA′
∴∠B=∠B′
又∠APB=∠A′PB
∴△ABP∽△A′B′P；

（2）存在，△ABC∽△A′B′C′．
理由如下：連接CP，
∵四邊形ABCP是圓內接四邊形
∴∠CPA′=∠ABC
∵∠CPA′=∠CB′A′
∴∠ABC=∠A′B′C′
同理可求得∠BAC=∠B′A′C′
∴△ABC∽△A′B′C′．
分析：（1）兩圓外切時，通常做兩圓的公切線，用弦切角做等量值，得出∠B=∠B′或∠A=∠A′，即可求出所得的相似三角形；
（2）同①的思路類似，連接兩圓的交點，用圓內接四邊形的性質和圓周角定理，可得出∠ABC=∠A′BC，∠BAC=∠B′A′C′，據此可找出要求的相似三角形．
點評：本題主要考查了圓與圓的位置關系、圓周角定理、弦切角定理、圓的內接四邊形等知識．兩圓相切時，常作兩圓的公切線；兩圓相交時，常連接兩圓的交點，作出兩圓的公共弦．