Question

【題目】已知兩實數a與b,M=+，N=2ab

（1）請判斷M與N的大小，并說明理由。

（2）請根據(1)的結論,求 + +3的最小值(其中x,y均為正數)

（3）請判斷++abacbc的正負性(a,b,c為互不相等的實數)

（4）若n為正整數，則（n+1）（n+4）（n2+5n）+4的值為某一個整數的平方，試說明理由

Answer 1

【答案】（1）M≥N，見解析；（2）最小值為5；（3）正；（4）見解析.

【解析】

（1）由M-N是一個完全平方式，分解因式得出M-N=（a-b）2≥0，即可得出結論；

（2）由（1）的結論容易得出結果；

（3）把原式化成= [（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]，即可得出結論．

（4）去括號后進行整理即可.

（1）M≥N；理由如下：

∵MN=+2ab=≥0，

∴M≥N；

(2)∵ + +3≥2×× +3=5

∴最小值為5；

(3)++abacbc>0，理由如下：

∵++abacbc= (2+2+22ab2ac2bc)

= [++]，

∵a，b，c為互不相等的實數，

∴++abacbc>0.

(4) （n+1）（n+4）（n2+5n）+4

=（n2+5n+4）（n2+5n）+4

=（n2+5n）2+4（n2+5n）+4

=（n2+5n+2）2