Question

如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=x+2與x軸、y軸交于A、B兩點，動點P從A出發沿射線AO運動，動點Q同時從點B出發沿OB的延長線運動，點P、Q的運動速度均為每秒一個單位長．連接PQ交直線AB于D．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）設點P的運動時間為t秒，試求△PBQ的面積S與t的關系式．
（3）是否存在合適的t值，使△PBQ與△AOB的面積相等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
（4）過P作PE⊥AB與E，DE的長度是固定值還是不確定的？直接寫出你的判斷結果不必說明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=0，或y=0．即可得到B（0，2）；A（-2，0）；
（2）分類討論：當0≤t≤2，或t＞2，利用坐標表示有關線段長，然后根據三角形的面積公式得到關系式；
（3）DE的長度為定值．

解答：解：如圖：
（1）由x=0，y=2，B（0，2）；
由y=0，x=-2，A（-2，0）；（3分）

（2）當0≤t≤2時，AP=t，PO=2-t，S=

1

2

t(2-t)；
當t＞2時，AP=t，PO=t-2，S=

1

2

t(t-2)；（6分）

（3）存在．
S_△AOB=

1

2

•AO•BO=2．
當

1

2

t(2-t)=2時，t²-2t+4=0無解．
當

1

2

t(t-2)=2時，t²-2t-4=0，t=1±

5

，t=1+

5

符合題意．
∴當t=1+

5

時，S_△AOB=S_△PCQ．（9分）

（4）DE的長度為定值，且DE=

1

2

AB=

2

理由如下：過P作PF∥OB交AB于F，
∵AO=BO=2，x軸⊥y軸．
∴AB=2

2

，且△AOB、△APE、△FPA均是等腰直角三角形．
∵AP=PF=BQ，
∴△PFD≌△QBD．
∴D是BF的中點．
∵PE⊥AB，
∴E是AF的中點，
∴DE=

1

2

AB=

2

．
P在原點的右側時類似．仍有DE=

1

2

AB=

2

．（12分）

點評：本題考查了一次函數的性質：y=kx+b（k≠0）為一條直線，點在直線上，點的坐標滿足解析式．也考查了三角形的面積公式以及等腰直角三角形的性質．