Question

【題目】如圖，在等腰RtABC中，，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B時，點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長是（ ）

A. B. 2 C. D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=BC=8，則OC=AB=4，OP=AB=4，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OM⊥PC，則∠CMO=90°，于是根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)M在以OC為直徑的圓上，由于點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時，M點(diǎn)在F點(diǎn)，則利用四邊形CEOF為正方得到EF=OC=4，所以M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，然后根據(jù)圓的周長公式計算點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長．

詳解：取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∴AB=BC=8，∴OC=AB=4，OP=AB=4．

∵M為PC的中點(diǎn)，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴點(diǎn)M在以OC為直徑的圓上，點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時，M點(diǎn)在F點(diǎn)，易得四邊形CEOF為正方形，EF=OC=4，∴M點(diǎn)運(yùn)動的路徑為以EF為直徑的半圓，∴點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長=4π=2π． 故選B．