Question

如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在CB的延長線上，連接DE，交AB于點F，連接DB，∠AFD=∠DBE，且DE²=BE•CE．
（1）求證：∠DBE=∠CDE；
（2）當BD平分∠ABC時，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

證明：（1）∵DE²=BE•CE，
∴．
∵∠E=∠E，
∴△DBE∽△CDE．
∴∠DBE=∠CDE．

（2）∵∠DBE=∠CDE，
又∵∠DBE=∠AFD，
∴∠CDE=∠AFD．
∴AB∥DC．
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠1．
∵DB平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∴∠ADB=∠2．
∴AB=AD．
∴四邊形ABCD是菱形．
分析：（1）先把等積式：DE²=BE•CE化為比例式，利用兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似證明△DBE∽△CDE即可證明∠DBE=∠CDE；
（2）有（1）可知：∠DBE=∠CDE，利用角平分線的性質和平行線的判定以及平行四邊形的判定方法證明四邊形ABCD為平行四邊形，再證明AB=AD即可證明：四邊形ABCD是菱形．
點評：本題綜合性的考查了相似三角形的判定、相似三角形的性質、角平分線的性質、平行線的判定和性質以及平行四邊形的判定、性質和菱形的判定方法，題目的綜合性不小．