Question

如圖，在平面直角坐標系中的正方形ABCD的邊長為acm（a＞2），B與坐標原點重合，邊AB在y軸正半軸，動點P從點B出發，以2cm/s的速度沿B→C→D方向，向點D運動；動點Q從點A出發，以1cm/s的速度沿A→B方向，向點B運動，設P，Q兩點同時出發，運動時間為ts．
（1）若t=1時，△BPQ的面積為3cm²，則a的值為多少？
（2）在（1）的條件下，以點P為圓心，作⊙P，使得⊙P與對角線BD相切如圖（b）所示，問：當點P在CD上動動時，是否存在這樣的t，使得⊙P恰好經過正方形ABCD的某一邊的中點？若存在，請寫出符合條件的t的值并直接寫出直線PQ解析式（其中一種情形需有計算過程，其余的只要直接寫出答案）；若不存在，請說明理由．
（3）在（1）的條件下，且t＜

3

2

，點P在BC上運動時，△PQD是以PD為一腰的等腰三角形，在直線BD上找一點E，在x軸上找一點F，是否存在以E，F，P，Q為頂點的平行四邊形？若存在，求出E，F兩點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當t=1時OP=2cm，BQ=（a-1）cm，根據△BPQ的面積為3cm²列出有關a的方程求得a值即可；
（2）當P在CD上運動時，若⊙P經過BC的中點E，設⊙P切BD于M，則可得到CP=2t-4，根據勾股定理得到PM²=PE²=（2t-4）²+2²，然后在Rt△PMD中，根據DP=

2

PM得到DP²=2PM²，進一步得到（8-2t）²=2[（2t-4）²+2²]求得t值后即可求得PQ的解析式；
（3）根據PD=QD得到Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL），利用CP=AQ得到t=4-2t，求得t值和若PD=PQ，則PD²=PQ²，求得t值，然后求得點E、F的坐標．

解答：解：（1）當t=1時OP=2cm，BQ=（a-1）cm，
∵△BPQ的面積為3cm²，
∴

1

2

BP•BQ=

1

2

×2×（a-1）=3，
解得：a=4．

（2）當P在CD上運動時，若⊙P經過BC的中點E，設⊙P切BD于M，則CP=2t-4，PM²=PE²=（2t-4）²+2²，
而在Rt△PMD中，由于∠PDM=45°，
所以DP=

2

PM，即DP²=2PM²，
所以（8-2t）²=2[（2t-4）²+2²]．解得t=±

6

，負值舍去，
所以t=

6

．
所以當點P在CD上運動時，若t=

6

，則⊙P恰好經過正方形ABCD的某一邊的中點．
t=

6

，y=

3 6 -8

4

x+4-

6

；

（3）①若PD=QD，則Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL）
所以CP=AQ．即t=4-2t，解得t=

4

3

．
②若PD=PQ，則PD²=PQ²，即4²+（4-2t）²=（4-t）²+（2t）²，
解得t=-4±4

2

，其中t=-4-4

2

＜0不合題意，舍去，
所以t=-4+4

2

．所以t=

4

3

或t=-4+4

2

時，△PQD是以PD為一腰的等腰三角形．
又t＜

3

2

，
所以t=

4

3

，E₁（

8

3

，

8

3

），F₁（

16

3

，0），E₂（-

8

3

，-

8

3

），F₂（-

16

3

，0），E₃（

8

3

，

8

3

），F₃（0，0）．

點評：此題考查了圓的綜合知識，涉及到含相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識點，綜合性強，難度較大，尤其是動點問題，給此題增加了一定的難度，因此此題屬于難題．