Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3經過A(3，0)，B(1，0)兩點(如圖1)，頂點為M.

(1)a、b的值；

(2)設拋物線與y軸的交點為Q(如圖1)，直線y=2x+9與直線OM交于點D. 現將拋物線平移，保持頂點在直線OD上.當拋物線的頂點平移到D點時，Q點移至N點，求拋物線上的兩點M、Q間所夾的曲線MQ掃過的區域的面積；

(3)設直線y=2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D(如圖2).現將拋物線平移，保持頂點在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點C)沒有公共點時，試探求其頂點的橫坐標h的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）a=1，b=4；（2）MQ掃過的面積為；（3）或

【解析】

（1）將A、B兩點的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值．

（2）連接MQ、DN后，由圖可以發現曲線MQ掃過的面積正好是MQND的面積；連接QD，則MQND的面積是兩倍的△MQD的面積，所以這道題實際求的是△MQD的面積；由（1）的拋物線解析式，不難求出頂點M的坐標，聯立直線OM和直線CD的解析式可以求出點D的坐標；以OQ為底，M、D兩點的橫坐標差的絕對值為高即可得△MQD的面積，則此題可求．

（3）在平移過程中，拋物線的開口方向和大小是不變的，即二次項系數不變；拋物線的頂點始終在直線OM上，根據直線OM的解析式（y=x）可表達出拋物線頂點的坐標（h，h），可據此先設出平移后的拋物線解析式；若求平移的拋物線與射線CD（含端點C）沒有公共點時頂點橫坐標的取值范圍，那么就要考慮到兩個關鍵位置：

①拋物線對稱軸右側部分經過C點時，拋物線頂點橫坐標h的值；

②拋物線對稱軸左側部分與直線CD恰好有且只有一個交點時，h的值；

解：（1）將A（-3，0），B（-1，0）代入拋物線y=ax2+bx+3中，得：

，

解得：a=1、b=4．

（2）連接MQ、QD、DN，

由圖形平移的性質知：QN∥MD，即四邊形MQND是平行四邊形；

由（1）知，拋物線的解析式：y=x2+4x+3=（x+2）2-1，則點M（-2，-1），

當x=0時，y=3，

∴Q（0，3）；

設直線OM的解析式為y=kx，

∴-2k=-1，

∴k=，

∴直線OM：y=x，聯立直線y=-2x+9，得：

，

解得

．

則D（）；

曲線QM掃過的區域的面積：S=SMQND=2S△MQD；

（3）由于拋物線的頂點始終在y=x上，可設其坐標為（h，h），設平移后的拋物線解析式為y=（x-h）2+h；

①當平移后拋物線對稱軸右側部分經過點C（0，9）時，有：

h2+h=9，解得：h=（依題意，舍去正值）

②當平移后的拋物線與直線y=-2x+9只有一個交點時，依題意：

，

消去y，得：x2-（2h-2）x+h2+h-9=0，

則：△=（2h-2）2-4（h2+h-9）=-10h+40=0，解得：h=4，

結合圖形，當平移的拋物線與射線CD（含端點C）沒有公共點時，h＜或h＞4．