Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，⊙C交BC于點E，交DC于點F．
（1）若點E是線段CB的中點，求扇形ECF的面積；（結果保留π）
（2）若EF=4，試問直線BD與⊙C是否相切？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出∠ACB的度數，求出EC，代入扇形的面積公式求出即可；
（2）連接AC交BD于O，求出CO、CF的值，得出CO=CF，根據CO⊥BD，結合切線的判定推出即可．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是邊長為4的正方形，
∴∠ACB=90°，
∵點E是線段CB的中點，BC=4，
∴EC=2，
∴，
∴S_扇形ECF=π．

（2）答：是相切，
理由是：連結AC交BD于點O，
∵四邊形ABCD是邊長為4的正方形，
∴∠C=90°，CO=，
∵CA⊥BD于O點，
在Rt△FCE中，FC=CE，EF=4，
∴FC²+CE²=EF²=16，
∴FC=，
∴FC=CO，
又∵CO⊥BD，
∴直線BD與⊙C相切．
點評：本題考查了切線判定，正方形性質，等腰三角形的性質的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．