Question

【題目】在四邊形ABDC中，AC＝AB，DC＝DB，∠CAB＝60°，∠CDB＝120°，E是AC上一點，F是AB延長線上一點，且CE＝BF．

（1）試說明：DE＝DF；
（2）在圖中，若G在AB上且∠EDG＝60°，試猜想CE、EG、BG之間的數量關系并證明此結論；
（3）若題中條件“∠CAB＝60°，∠CDB＝120°”改為∠CAB＝α，∠CDB＝180°－α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，(2)中結論仍然成立？（只寫結果不要證明）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°，

∴∠C+∠ABD=360°﹣60°﹣120°=180°，

又∵∠DBF+∠ABD=180°，

∴∠C=∠DBF，

在△CDE和△BDF中，

∴△CDE≌△BDF（SAS），

∴DE=DF.

（2）

解：如圖1，連接AD，猜想CE、EG、BG之間的數量關系為：CE+BG=EG．

證明：在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠BDA=∠CDA= ∠CDB= ×120°=60°，

又∵∠EDG=60°，

∴∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，

由（1）可知△CDE≌△BDF，

∴∠CDE=∠BDF，

∴∠BDG+∠BDF=60°，

即∠FDG=60°，

∴∠EDG=∠FDG，

在△DEG和△DFG中，

∴△DEG≌△DFG，

∴EG=FG，

又∵CE=BF，FG=BF+BG，

∴CE+BG=EG

（3）

解：要使CE+BG=EG仍然成立，

則∠EDG=∠BDA=∠CDA= ∠CDB，

即∠EDG= （180°﹣α）=90°﹣ α，

∴當∠EDG=90°﹣ α時， CE+BG=EG仍然成立

【解析】（1）首先判斷出∠C=∠DBF，然后根據全等三角形判定的方法，判斷出△CDE≌△BDF，根據全等三角形的性質即可判斷出DE=DF．
（2）猜想CE、EG、BG之間的數量關系為：CE+BG=EG．首先根據全等三角形判定的方法，判斷出△ABD≌△ACD，即可判斷出∠BDA=∠CDA=60°；然后根據∠EDG=60°，可得∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，再根據∠CDE=∠BDF，判斷出∠EDG=∠FDG，據此推得△DEG≌△DFG，所以EG=FG，最后根據CE=BF，判斷出CE+BG=EG即可．
（3）根據（2）的證明過程，要使CE+BG=EG仍然成立，則∠EDG=∠BDA=∠CDA= ∠CDB，即∠EDG= （180°-α）=90°- α，據此解答即可．