Question

將△ABC繞點B逆時針旋轉α得到△DBE，DE的延長線與AC相交于點F，連接DA、BF．
（1）如圖1，若∠ABC=α=60°，BF=AF．
①求證：DA∥BC；②猜想線段DF、AF的數量關系，并證明你的猜想；
（2）如圖2，若∠ABC＜α，BF=mAF（m為常數），求的值（用含m、α的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由旋轉性質證明△ABD為等邊三角形，則∠DAB=∠ABC=60°，所以DA∥BC；
（2）①如答圖1所示，作輔助線（在DF上截取DG=AF，連接BG），構造全等三角形△DBG≌△ABF，得到BG=BF，∠DBG=∠ABF；進而證明△BGF為等邊三角形，則GF=BF=AF；從而DF=2AF；
②與①類似，作輔助線，構造全等三角形△DBG≌△ABF，得到BG=BF，∠DBG=∠ABF，由此可知△BGF為頂角為α的等腰三角形，解直角三角形求出GF的長度，從而得到DF長度，問題得解．
解答：（1）證明：①由旋轉性質可知，∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB
∴△ABD為等邊三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠ABC，
∴DA∥BC．
②猜想：DF=2AF．
證明：如答圖1所示，在DF上截取DG=AF，連接BG．

由旋轉性質可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF．
∵在△DBG與△ABF中，

∴△DBG≌△ABF（SAS），
∴BG=BF，∠DBG=∠ABF．
∵∠DBG+∠GBE=α=60°，
∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°，
又∵BG=BF，
∴△BGF為等邊三角形，
∴GF=BF，又BF=AF，
∴GF=AF．
∴DF=DG+GF=AF+AF=2AF．

（2）解：如答圖2所示，在DF上截取DG=AF，連接BG．

由（1），同理可證明△DBG≌△ABF，BG=BF，∠GBF=α．
過點B作BN⊥GF于點N，
∵BG=BF，∴點N為GF中點，∠FBN=．
在Rt△BFN中，NF=BF•sin∠FBN=BFsin=mAFsin．
∴GF=2NF=2mAFsin
∴DF=DG+GF=AF+2mAFsin，
∴=1+2msin．
點評：本題是幾何綜合題，考查了旋轉性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、解直角三角形等知識點．難點在于第（2）問，解題關鍵是構造全等三角形得到等腰三角形，同學們往往不能由此突破而陷入迷途．