Question

如圖，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，CD=BD，DE⊥AC于點E，AC交⊙O于另一點G．
（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若AB=6，AD=，求AG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，由于OD=OB，可推知∠1=∠2，易知，△ADC≌△ADB，于是AB=AC，可推知，∠1=∠C，從而得到∠2=∠C，于是有AC∥OD，故∠EDO=∠CED=90°，即可判斷DE⊥DO；
（2）由于AB=AC，可推知AC=6，在Rt△ADC中，利用勾股定理求出CD的長，進而求出BD的長，利用割線定理可求出GC的長，GC-AC=AG的長．
解答：解：（1）連接OD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
又∵△ADC≌△ADB，
∴AB=AC，
∴∠1=∠C，
∴∠2=∠C，
∴AC∥OD，
∴∠EDO=∠CED=90°，
∴DE⊥DO；
∴DE是⊙O的切線．
（2）∵AB=AC，
∴AC=6，
在Rt△ADC中，
CD===．
∵CA•CG=CD•CB，
即6×CG=×2，
解得，CG=10，
AG=10-6=4．
點評：本題考查了切線的判定、圓周角定理，作出輔助線OD，構造直角三角形，為利用切線的判定定理創造條件是解題的關鍵．