Question

【題目】如圖，將正n邊形繞點A順時針旋轉60°后，發現旋轉前后兩圖形有另一交點O，連接AO，我們稱AO為“疊弦”；再將“疊弦”AO所在的直線繞點A逆時針旋轉60°后，交旋轉前的圖形于點P，連接PO，我們稱∠OAB為“疊弦角”，△AOP為“疊弦三角形”．

【探究證明】

⑴請在圖1和圖2中選擇其中一個證明：“疊弦三角形”(△AOP)是等邊三角形；

⑵如圖2，求證：∠OAB=∠OAE′．

圖1(n=4) 圖2(n=5) 圖3(n=6) 圖n

【歸納猜想】

⑶圖1、圖2中的“疊弦角”的度數分別為_____________，_________；

⑷圖n中，“疊弦三角形”_____________等邊三角形(填“是”或“不是”)

⑸圖n中，“疊弦角”的度數為______________________(用含n的式子表示)

Answer 1

【答案】 15°， 24° 是 ．

【解析】（1）先由旋轉的性質，再判斷出△APD≌△AOD/，最后用旋轉角計算即可；

（2）向判斷出Rt△AEM≌△Rt△ABN，在判斷出Rt△APM≌Rt△AON即可；

（3）先判斷出△AD/O≌△ABO，再利用正方形，正五邊形的性質和旋轉的性質，計算即可；

（4）先判斷出△APF≌△AE/F/，再用旋轉角60°，從而得出△PAO是等邊三角形；

（5）用（3）的方法求出正n邊形的“疊弦角”的度數.

解：（1）如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形， 由旋轉知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，

∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'（ASA）∴AP=AO，

∵∠OAP=60°，∴△AOP是等邊三角形，

（2）如圖2，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．

∵五邊形ABCDE是正五邊形，

由旋轉知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°

∴∠EAP=∠E'AO ∴△APE≌△AOE'（ASA）

∴∠OAE'=∠PAE．

在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，AE=AB

∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS）， ∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．

在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN

∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）．∴∠PAM=∠OAN，

∴∠PAE=∠OAB ∴∠OAE'=∠OAB （等量代換）．

（3）由（1）有，△APD≌△AOD'，

∴∠DAP=∠D′AO，

在△AD′O和△ABO中，

AD′=AB，AO=AO，

∴△AD′O≌△ABO，∴∠D′AO=∠BAO，

由旋轉得，∠DAD′=60°，∵∠DAB=90°，∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，

∴∠D′AD=∠D′AB=15°，

同理可得，∠E′AO=24°，

故答案為：15°，24°．

（4）如圖3，

∵六邊形ABCDEF和六邊形A′B′C′E′F′是正六邊形，∴∠F=F′=120°，由旋轉得，AF=AF′，EF=E′F′，∴△APF≌△AE′F′，∴∠PAF=∠E′AF′，

由旋轉得，∠FAF′=60°，AP=AO ∴∠PAO=∠FAO=60°，

∴△PAO是等邊三角形．故答案為：是

（5）圖n中的多邊形是正（n+3）邊形，

同（3）的方法得，

故答案： ．