Question

已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，點O是AC邊上一點，連接BO交AD于點F，OE⊥OB交BC邊于點E．
（1）如圖1，求證△ABF∽△COE；
（2）如圖2，點O是AC邊的中點，AB=1，AC=2．①求證BF=OE；②求OE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由垂直的性質和等量代換，可得∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE，即可證得；
（2）①易得AB=OC，由（1）知△ABF∽△COE，即可證明BF=OE；②根據三角形的面積得AD=，由勾股定理得BO、BD的長，設OE=BF=x，由又△BDF∽△BOE，可得出DF=x，在直角△DFB中，根據勾股定理解答出即可．
解答：解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠C，
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE，
∴△ABF∽△COE；

（2）①∵O是AC邊的中點，AC=2，
∴AO=OC=1，
∵AB=1，
∴AB=OC，
由（1）知△ABF∽△COE，
∴△ABF≌△COE，
∴BF=OE；
②在直角△ABC中，BC===，
由S_△ABC=AB×AC=AD×BC得，2=AD，
∴AD=，
在直角△ABD中，BD===，
在直角△ABO中，BO===，
∵∠BDF=∠BOE=90°，∠FBD=∠EBO，
∴△BDF∽△BOE，
∴=，
設OE=BF=x，
∴=，
∴DF=x，
在直角△DFB中，由BF²=BD²+FD²，
得，x²=+x²，
∴x=，
∴OE的長為．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質、垂線的性質及勾股定理，根據三角形的相似，列出關系式是解答的關鍵．