Question

已知二次函數y=ax²+bx+3的圖象經過（1，），（2，）兩點，與x軸的兩個交點的右邊一個交點為點A，與y軸交于點B．
（1）求此二次函數的解析式并畫出這個二次函數的圖象；
（2）求線段AB的中垂線的函數解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）將（1，），（2，）代入y=ax²+bx+3，利用待定系數法求得二次函數的解析式，再根據二次函數的性質即可畫出這個二次函數的圖象；
（2）根據二次函數的解析式為y=-x²+x+3，求出A、B兩點的坐標．連接AB，作線段AB的中垂線MN，交AB于M，交OA于N，則點M為AB的中點，根據中點坐標公式得到M點坐標為（2，）．設N點坐標為（x，0），則ON=x，根據線段垂直平分線的性質得出AN=BN=4-x，然后在直角△OBN中，由勾股定理得出OB²+ON²=BN²，求出x的值，得到N點坐標為（，0）．設直線MN的解析式為y=mx+n，將M，N兩點的坐標代入，運用待定系數法即可求解．
解答：解：（1）∵二次函數y=ax²+bx+3的圖象經過（1，），（2，）兩點，
∴將兩點坐標代入二次函數解析式，
得：，
解得：，
∴此二次函數的解析式為y=-x²+x+3．
圖象如右所示：

（2）解方程-x²+x+3=0，
即4x²-13x-12=0，
解得x₁=4，x₂=-．
∵拋物線y=-x²+x+3與x軸的兩個交點的右邊一個交點為點A，與y軸交于點B，
∴A點坐標為（4，0），B點坐標為（0，3）．
連接AB，作線段AB的中垂線MN，交AB于M，交OA于N，連接BN，則點M為AB的中點，其坐標為（2，）．
設N點坐標為（x，0），則ON=x，AN=BN=4-x，
在△OBN中，∵∠BON=90°，OB=3，ON=x，BN=4-x，
∴OB²+ON²=BN²，即3²+x²=（4-x）²，
解得x=，
∴N點坐標為（，0）．
設直線MN的解析式為y=mx+n，
將M（2，），N（，0）代入，
得，
解得，
∴直線MN的解析式為y=x-．
即線段AB的中垂線的函數解析式為y=x-．
點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到運用待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，二次函數的圖象與性質，二次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理，中點坐標公式，線段垂直平分線的性質，綜合性較強，難度適中．