Question

已知兩個二次函數y₁，y₂，當x=m（m＜0）時，y₁取最小值6，y₂=7；又y₂的最小值-5.5；y₁+y₂=x²-3x+9．
（1）求m的值；
（2）求二次函數y₁，y₂的表達式．

Answer 1

分析：（1）根據y₁+y₂=x²-3x+9可知，6+7=m²-3m+9即可得出m的值；
（2）根據已知假設出兩二次函數解析式，再利用對應項系數相等，得出方程解出即可．

解答：解：（1）由y₁+y₂=x²-3x+9可知，
6+7=m²-3m+9，
解得：m₁=-1，m₂=4，
∵m＜0，
所以m=-1，

（2）設y₁=b（x+1）²+6；
    y₂=c（x-a）²-5.5；
    于是，y₁+y₂=b（x+1）²+6+c（x-a）²-5.5，
    即x²-3x+9=b（x+1）²+6+c（x-a）²-5.5=（b+c）x²+（2b-2ca）x+（b+ca²+0.5），
    由二次項系數相等得：c+b=1，
    即c=1-b，①
    由一次項系數相等得：-3=2b-2ca②，
    由常數項相等得：9=b+ca²+0.5 ③，
    由第（1）問，x=-1時，y₂=7，即c（-1-a）²-5.5=7 ④
    聯立以上四個方程（具體過程略，可先把c=b-1代入后面三個方程，再消去b），
    解得：c=

1

2

，b=

1

2

，a=4，
∴y₁=

1

2

（x+1）²+6；y₂=

1

2

（x-4）²-5.5．

點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數最值問題，根據題意得出相關等式方程是解決問題的關鍵．