Question

（2006•湖北）如圖，已知CA、CB都經過點C，AC是⊙B的切線，⊙B交AB于點D，連接CD并延長交OA于點E，連接AF．
（1）求證：AE⊥AB；
（2）求證：DE•DC=2AD•DB；
（3）如果AE=3，BD=4，求DC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的性質知：∠ACB=90°，由AC=AE，可得∠AEC=∠ACE，由BC=BD，可知∠BCD=∠BDC，再根據∠BDC=∠ADE，可得AE⊥AB；
（2）根據△ADE∽△FDB可得出DE•DC=2AD•DB；
（3）在Rt△ABC中，根據勾股定理可將AD的長求出，代入第二個小題的結論，可得出DC的長．
解答：（1）證明：∵AC是⊙B的切線，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°．
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC．
∴∠ACD+∠BDC=90°．
∵AC=AE，
∴∠ACD=∠AED．
∵∠ADE=∠BCD，
∴∠AED+∠ADE=90°．
∴∠EAD=90°．
即AE⊥AB．

（2）證明：過點B作BF⊥CD于點F，
∵∠ADE=∠BDF，∠EAD=∠BFD，
∴△ADE∽△FDB．
∴=．
即DE•FD=AD•DB．
∵DC=2FD，
∴DE•DC=2AD•DB．

（3）解：∵AE=3，BD=4，
在Rt△ABC中，
（AD+BD）²=AC²+BC²．
即（AD+4）²=3²+4²解得AD=1，
∴DE===．
∵DE•DC=2AD•DB，
即×DC=2×1×4，
∴DC=．
點評：本題主要考查切線的性質及相似三角形的判定和應用．